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« Mesure de la terre » chez les Grecs, la géométrie est née de l'arpentage égyptien avant de devenir, avec Euclide, la première science démonstrative. Le XIXe siècle a fait voler en éclats le postulat des parallèles, et le XXe l'a éclatée en topologie, géométrie différentielle ou non commutative. Ce quiz parcourt les grandes familles de géométries et leurs inventeurs, puis le théorème le plus célèbre de tous : celui de Pythagore, de ses racines babyloniennes et chinoises aux démonstrations d'un président américain et de deux lycéennes de Louisiane.
Les 30 questions avec réponses et explications. Jouer au quiz
Q 01Comment s'appelle le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle ?
Hypoténuse
Sa longueur est toujours supérieure à celle de chacun des deux autres côtés.
Q 02Que signifie littéralement « géométrie », d'après ses racines grecques ?
Mesure de la terre
Le grec geômétrês désignait le géomètre ou l'arpenteur, celui qui mesure les terrains.
Q 03Quel est le triplet pythagoricien le plus simple et le plus connu ?
(3, 4, 5)
Les Śulba-Sūtras indiens et les tablettes babyloniennes mentionnaient déjà de tels triplets.
Q 04À quelle civilisation remonte l'invention de la géométrie ?
Égypte antique
Dans un sens strict, la géométrie est « l'étude des formes et des grandeurs de figures », une définition née sous la civilisation grecque.
Q 05Quel nombre irrationnel mesure la diagonale d'un carré dont le côté sert d'unité ?
√2
Cette découverte des grandeurs incommensurables par les Grecs remonte probablement au Ve siècle av. J.-C.
Q 06Quel postulat de la géométrie classique affirme qu'une seule parallèle passe par un point extérieur à une droite ?
Cinquième
Sa réfutation a conduit aux géométries non euclidiennes, contraires à l'intuition usuelle.
Q 07Quel problème étudié par Euler en 1739 compte parmi les premiers résultats topologiques ?
Les sept ponts de Königsberg
La topologie étudie des ensembles dont la proximité et la continuité sont définies par la notion de voisinage.
Q 08Où se situe le Soleil sur l'orbite elliptique d'une planète ?
À l'un des foyers
Dans les premiers modèles du système solaire, chaque planète était associée à un solide platonicien.
Q 09Quel théorème sert, à un niveau élémentaire, à calculer les tailles de la Lune et du Soleil ?
Thalès
Géométrie et astronomie sont restées longtemps liées, jusqu'aux orbites elliptiques de Kepler.
Q 10De quelle île grecque est originaire le philosophe Pythagore ?
Samos
Le résultat qui porte son nom était pourtant connu plus de mille ans avant lui en Mésopotamie.
Q 11À qui doit-on la plus ancienne démonstration conservée du théorème de Pythagore, vers 300 av. J.-C. ?
Euclide
Rien ne permet d'attribuer de façon certaine une démonstration à Pythagore lui-même.
Q 12Combien de nœuds compte la corde utilisée en arpentage pour tracer un angle droit sans équerre ?
Treize
Ses douze intervalles se répartissent sur les trois côtés d'un triangle de dimensions 3, 4 et 5.
Q 13Quelle géométrie étudie les points et les droites sans notions de distance ni d'angle ?
Affine
Elle naît de la géométrie projective par élimination des éléments impropres, ce qui crée la notion de parallélisme.
Q 21Combien de points communs possèdent deux droites distinctes coplanaires, selon l'axiome d'incidence ?
Un seul
L'axiome d'ordre fait d'une droite projective l'équivalent d'un cercle, où deux points définissent deux segments.
Q 22Selon Jean-Pierre Kahane, la géométrie enseignée est « le lieu où on apprend à… » quoi ?
Appréhender l'espace
Son rapport dénonce aussi le manque d'une véritable réflexion didactique préalable sur l'apport de la géométrie.
Q 23Quelle réforme, née aux États-Unis, a réduit la géométrie enseignée au profit de l'algèbre linéaire ?
Mathématiques modernes
Q 14Quelle géométrie ajoute des points à l'infini aux espaces affines ?
Projective
La plus minimaliste des géométries, elle sert de tronc commun aux autres.
Q 15Quelle relation trigonométrique le théorème de Pythagore permet-il d'écrire sur le cercle de rayon 1 ?
cos²α + sin²α = 1
Le cosinus et le sinus y sont l'abscisse et l'ordonnée d'un point du cercle trigonométrique.
Q 16Quel président américain a proposé une démonstration du théorème de Pythagore ?
James Garfield
Plusieurs centaines de démonstrations différentes ont été répertoriées, dont une de Léonard de Vinci.
Q 17Quel mathématicien français a introduit la géométrie non commutative ?
Alain Connes
Cette géométrie trouve des applications en physique quantique et sert à bâtir de nouvelles théories physiques.
Q 18Quelle géométrie non euclidienne est due à Gauss, Lobatchevski et Bolyai ?
Hyperbolique
L'espace correspondant de dimension n est une variété riemannienne de courbure négative -1.
Q 19Quel mathématicien lance en 1872 le programme d'Erlangen, qui classe les géométries par leurs groupes ?
Felix Klein
Dans cette approche, la géométrie devient l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations et de leurs invariants.
Q 20En combien de sous-domaines principaux la géométrie se divise-t-elle au XXIe siècle ?
Six
Parmi eux figurent la topologie et la géométrie différentielle, devenues des branches autonomes au XXe siècle.
Dans les années 1960, involutions, divisions harmoniques et birapports figuraient encore au programme du secondaire.
Q 24Combien de branches le programme d'Erlangen distingue-t-il dans la géométrie classique ?
Cinq
Il s'agit des géométries affine, projective, métrique, euclidienne et non euclidienne, disciplines apparues avant le XXe siècle.
Q 25À quelle géométrie mènent les travaux d'Élie Cartan et de Sophus Lie ?
Différentielle
Elle utilise l'analyse, la topologie et l'algèbre linéaire, et englobe les géométries riemannienne et symplectique.
Q 26Quelle géométrie a fourni le formalisme idéal pour formuler la relativité générale ?
Lorentzienne
C'est une extension de la géométrie riemannienne, qui rend compte de la géométrie des surfaces dans l'espace.
Q 27Quelle courbure constante possède la sphère de dimension n en tant que variété riemannienne ?
+1
L'espace euclidien est, lui, une variété riemannienne de courbure nulle.
Q 28Que signifie « isotrope » dans la définition d'un espace géométrique par Henri Poincaré ?
Toutes les droites issues d'un point sont identiques
L'homogénéité, autre propriété de sa liste, signifie que tous les points de l'espace sont identiques entre eux.
Q 29Quel théorème permet de comparer localement une variété riemannienne à des espaces modèles ?
Toponogov
Les propriétés métriques des triangles peuvent y différer de la trigonométrie euclidienne.
Q 30Quelle figure les premiers modèles du système solaire associaient-ils à chaque planète ?
Solide platonicien
De telles considérations géométriques servent encore en mécanique classique pour décrire qualitativement les trajectoires.